Pembahasan Soal SBMPTN Matematika 2017/2018

Soal SBMPTN Matematik dan Pembahasan 2017/2018. Berikut ini adalah pembahasan lengkap soal matemtika SBMPTN 2017/2018 untuk kode soal 155. Semoga pembahasan ini bermanfaat bagi adik-adik sekalian.

Soal Matematika Nomor 1

Jika m dan n memenuhi $\begin{cases} \dfrac{1}{m^2}- \dfrac{2}{n^2}=2\\ \dfrac{3}{m^2}- \dfrac{4}{n^2}=8\end{cases}$
maka mn = ...
A. 1/8
B. 1/4
C. 1/2
D. 1
E. 2

Pembahasan:

Andaikan $\dfrac{1}{m^2}=x$ dan $\dfrac{1}{n^2}=y$
maka persamaan pada soal dapat ditulis sebagai berikut:

x − 2y = 2
3x − 4y = 8

Dari penyelesaian dari sistem persamaan di atas diperoleh x = 4 dan y = 1. Sehingga \begin{split} xy &= 4, maka\\ \dfrac{1}{m^2}\dfrac{1}{n^2} &= 4\\ m^2n^2 &= \dfrac{1}{4}\\ mn &= \dfrac{1}{2} \end{split}
Soal Matematika Nomor 2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungannya menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ...
A. 2b = $2(\sqrt[10]{2}-1)$
B. 2b = $2(\sqrt[5]{2}-1)$
C. 2b = $2(\sqrt{2})$
D. 2b = $2(\sqrt[5]{2})$
E. 2b = $2(\sqrt[10]{2})$

Pembahasan:
Misalkan tabungan awalnya = M, suku bunga yang didapat sebesar b, maka setelah 5 tahun (10 semester) tabungannya menjadi M(1 + b)¹⁰. Tetapi karena setelah 5 tahun tabungannya menjadi dua kali lipat maka diperoleh persamaan \begin{split} M(1+b)^{10}&=2M , maka\\ (1+b)^{10}&=2\\ 1+b &=\sqrt[10]{2}\\ b &=\sqrt[10]{2}-1 \end{split} Jadi besar tingkat suku bunga per tahun adalah 2b = $2(\sqrt[10]{2}-1)$


Soal Matematika Nomor 3
Banyaknya bilangan bulat negatif x yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{|x+1|-2x}{x^2+x-12} \leq 0$ adalah ...
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6

Pembahasan:
Kasus pertama jika x ≥ −1, maka \begin{split} \dfrac{|x+1|-2x}{x^2+x-12} \leq 0\\sehingga\ \dfrac{x+1-2x}{x^2+x-12} \leq 0\\\ \dfrac{-x+1}{x^2+x-12} \leq 0\\ \dfrac{x-1}{(x+4)(x-3)} \geq 0\\ -4 < x \leq 1 \text{ atau } x > 3 \end{split} Karena x ≥ −1 maka −1 ≤ x ≤ 1 atau x > 3

Kasus kedua jika x < −1, maka \begin{split} \dfrac{-x-1-2x}{x^2+x-12} \leq 0\\ \dfrac{-3x-1}{x^2+x-12} \leq 0\\\ \dfrac{3x+1}{x^2+x-12} \geq 0\\ \dfrac{3x+1}{(x+4)(x-3)} \geq 0\\ -4 < x \leq 1 \text{ atau } x > 3 \end{split} Karena x < 1 maka −4 < x < −1.

Dengan menggabungkan penyelesaian dari kasus pertama dan kedua diperoleh −4 < x ≤ 1 atau x > 3, sehingga bilangan bulat yang memenuhi adalah −3, −2, −1, 0, ... dst. Jadi bilangan bulat negatif yang memenuhi ada sebanyak 3


Soal Matematika Nomor 4
Vektor a dan b membntuk sudut α dengan sin α = $\dfrac{1}{\sqrt{7}}$. Jika |a| = $\sqrt{5}$ dan a⋅b = $\sqrt{30}$,
maka b⋅b = ...
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
E. 9

Pembahasan:
Karena identitas sin² α + cos² α = 1 dan sin α = $\dfrac{1}{\sqrt{7}}$ maka cos α = $\pm \sqrt{\dfrac{6}{7}}$

Jika cos α = $\sqrt{\dfrac{6}{7}}$ maka \begin{split} a \cdot b &= |a||b| \cos \alpha\\ \sqrt{30} &= \sqrt{5}|b|\sqrt{\dfrac{6}{7}}\\ |b|&=\dfrac{\sqrt{30}}{\sqrt{5}\sqrt{\dfrac{6}{7}}}\\ |b|&=\sqrt{7}\\ |b|^2&=7\\ b\cdot b &= 7 \end{split}

Soal Matematika Nomor 5
Jika x₁ dan x₂ adalah solusi dari 2cot x − 2tan x − 4sin x cos x = 0 untuk 0 < x < π/2, maka sin² x₁ + sin² x₂ = ...
A. 1/2
B. 1
C. 3/2
D. 2
E. 5/2

Pembahasan:

\begin{split} & 2\cot x - 2\tan x - 4\sin x \cos x&=0\\ \Rightarrow & 2\dfrac{\cos x}{\sin x} - 2\dfrac{\sin x}{\cos x} - 4\sin x \cos x&=0 \end{split} Kedua ruas dikalikan dengan sin x cos x, maka diperoleh \begin{split} 2\cos^2 x - 2\sin^2 x - 4(\sin x \cos x)^2&=0\\ 2(\cos^2 x - \sin^2 x) - 4(\sin x \cos x)^2&=0\\ 2\cos 2x - 4\left(\dfrac{1}{2}\sin 2x\right)^2&=0\\ 2\cos 2x - 4\cdot \dfrac{1}{4} \sin^2 2x &=0\\ 2\cos 2x - \sin^2 2x &=0\\ 2\cos 2x - (1-\cos^2 2x) &=0\\ \cos^2 2x + 2\cos 2x - 1 &=0 \end{split} Andaikan persamaan kuadrat di atas memiliki penyelesaian cos 2x₁ dan cos 2x₂ maka cos 2x₁ + cos 2x₂ = −2. Kemudian dengan menggunakan identitas cos 2A = 1 − 2sin² A maka diperoleh \begin{split} \cos 2x_1 + \cos 2x_2 &= -2 \\ 1-2\sin^2 x_1 + 1-2\sin^2 x_2 &= -2\\ 2-2(\sin^2 x_1 + \sin^2 x_2)&=-2\\ -2(\sin^2 x_1 + \sin^2 x_2)&=-4\\ \sin^2 x_1 + \sin^2 x_2 &= 2 \end{split}